Espérance et variance d'une loi de Bernoulli

Propriété

Soit  $p\in [0;1]$  et  $X$ une variable aléatoire réelle suivante une loi de Bernoulli de paramètre $p$ . L'espérance, la variance et l'écart-type de la variable aléatoire $X$  sont respectivement :

• $E[X]=p$
  
• $V(X)=p(1-p)$
  
• $\sigma (X)=\sqrt{p(1-p)}$
  

Démonstration

L'espérance de la variable aléatoire $X$   vaut : $E[X]=0\times \mathbb{P}(X=0)+1\times \mathbb{P}(X=1)=0\times (1-p)+1\times p=p.$

La variance de cette variable aléatoire est : $V(X)=(0-E[X]{)}^2\times \mathbb{P}(X=0)+(1-E[X]{)}^2\times \mathbb{P}(X=1)$ .
Ainsi,  $V(X)=(0-p{)}^2\times (1-p)+(1-p{)}^2\times p=(1-p)(p^2+p(1-p))=(1-p)\times p.$

Enfin,  $\sigma (X)=\sqrt{Var(X)}=\sqrt{p(1-p)}$ .

Remarque

Pour démontrer que  $V(X)=p(1-p)$ , il est aussi possible d'utiliser la formule de Koenig-Huygens, à savoir que  $V(X)=E[X^2]-E[X{]}^2.$  
En effet, la variable aléatoire  $X$  peut uniquement prendre les valeurs 0 et 1.
Or,  $0^2=0$  et  $1^2=1$ . On a donc  $X^2=X$ .
Ainsi,  $V(X)=E[X]-E[X{]}^2=p-p^2=p(1-p).$

Exemple

Soit  $X$  une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre 0,2.
On a alors :
$E[X]=0,2$
$V(X)=0,2\times (1-0,2)=0,8$
$\sigma (X)=\sqrt{0,16}=0,4$ .