Espérance et variance d'une loi de Bernoulli

Propriété

Soit  `p\in[0;1]`  et  `X` une variable aléatoire réelle suivante une loi de Bernoulli de paramètre `p` . L'espérance, la variance et l'écart-type de la variable aléatoire `X`  sont respectivement :

• `E[X] = p`
  
• `V(X) = p(1-p)`
  
• `\sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}`
  

Démonstration

L'espérance de la variable aléatoire `X`   vaut : \(E[X] = 0 \times \mathbb{P}(X=0) + 1 \times \mathbb{P}(X=1)=0\times(1-p)+1\times p = p.\)

La variance de cette variable aléatoire est : \(V(X)= (0-E[X])^2 \times \mathbb{P}(X=0) + (1-E[X])^2 \times \mathbb{P}(X=1)\) .
Ainsi,  `V(X)=(0-p) ^2\times (1-p)+(1-p)^2 \times p = (1-p)(p^2+p(1-p))=(1-p) \times p.`

Enfin,  \(\sigma(X)=\sqrt{Var(X)}=\sqrt{p(1-p)}\) .

Remarque

Pour démontrer que  \(V(X)=p(1-p)\) , il est aussi possible d'utiliser la formule de Koenig-Huygens, à savoir que  \(V(X)=E[X^2]-E[X]^2.\)  
En effet, la variable aléatoire  `X`  peut uniquement prendre les valeurs 0 et 1.
Or,  `0^2=0`  et  `1^2=1` . On a donc  `X^2=X` .
Ainsi,  \(V(X)=E[X]-E[X]^2=p-p^2=p(1-p).\)

Exemple

Soit  `X`  une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre 0,2.
On a alors :
`E[X]=0,2`
`V(X)=0,2 \times(1-0,2)=0,8`
`\sigma (X)=\sqrt{0,16}=0,4` .